MECÃNICA GENEERALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONAL [293]

G* = $\psi ^{*}$ = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$\psi ^{*}$ $\psi$ ω $/ T / c} =$

$\psi ^{*}$ Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ $G* =$ $\psi ^{*}$

$COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..$

Princípios

Primeiro princípio: Princípio da superposição

Na mecânica quântica, o estado de um sistema físico é definido pelo conjunto de todas as informações que podem ser extraídas desse sistema ao se efetuar alguma medida.

Na mecânica quântica, todos os estados são representados por vetores em um espaço vetorial complexo: o Espaço de Hilbert H. Assim, cada vetor no espaço H representa um estado que poderia ser ocupado pelo sistema. Portanto, dados dois estados quaisquer, a soma algébrica (superposição) deles também é um estado.

Como a norma dos vetores de estado não possui significado físico, todos os vetores de estado são preferencialmente normalizados. Na notação de Dirac, os vetores de estado são chamados "Kets" e são representados como aparece a seguir:

\mid \psi \rangle

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Usualmente, na matemática, são chamados funcionais todas as funções lineares que associam vetores de um espaço vetorial qualquer a um escalar. É sabido que os funcionais dos vetores de um espaço também formam um espaço, que é chamado espaço dual. Na notação de Dirac, os funcionais - elementos do Espaço Dual - são chamados "Bras" e são representados como aparece a seguir:

\langle \psi \mid

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Segundo princípio: Medida de grandezas físicas

a) Para toda grandeza física A é associado um operador linear autoadjunto Â pertencente a A: Â é o observável (autovalor do operador) representando a grandeza A.

b) Seja

|\psi (t)\rangle

o estado no qual o sistema se encontra no momento onde efetuamos a medida de A. Qualquer que seja

|\psi (t)\rangle ,

os únicos resultados possíveis são os autovalores de

a_{\alpha }

do observável Â.

c) Sendo

{\hat {A}}_{\alpha }

o projetor sobre o subespaço associado ao valor próprio

a_{\alpha },

a probabilidade de encontrar o valor

a_{\alpha }

em uma medida de A é:

{\mathcal {P}}(a_{\alpha })=\|\psi _{\alpha }\|^{2}

onde

|\psi _{\alpha }\rangle ={\hat {A}}_{\alpha }

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

d) Imediatamente após uma medida de A, que resultou no valor

a_{\alpha },

o novo estado

|\psi '\rangle

do sistema é

|\psi '\rangle ={|\psi _{\alpha }\rangle }/{\|\psi _{\alpha }\|^{2}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Terceiro princípio: Evolução do sistema

Seja $|\psi (t)\rangle$ o estado de um sistema ao instante t. Se o sistema não é submetido a nenhuma observação, sua evolução, ao longo do tempo, é regida pela equação de Schrödinger:

i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde ${\hat {H}}$ é o hamiltoniano do sistema.

Propriedades comparativas e suporte experimental

Uma das características a se salientar da interpretação de muitos mundos é que o observador não requer de uma construção especial (tal como o colapso da função de onda) para ser explicada. Muitos físicos, por outro lado, não gostam da implicação de haver infinitos universos alternativos não observáveis.

Como desde 2002, não foram feitos experimentos práticos que para distinguir entre as interpretações de muitos mundos e Copenhague, e na ausência de dados amostrais, a escolha de uma delas é de caráter pessoal. Porem, uma das áreas de pesquisa e planejar experimentos os quais possam distinguir entre as várias interpretações da mecânica quântica, embora exista algum ceticismo se esta é mesmo uma questão importante a ser respondida.

Realmente, pode ser argumentado que há uma equivalência matemática entre Copenhague (quando é expressa, por exemplo, como um conjunto de algoritmos para manipulação densidade de estado) e muitos mundos (o qual da as mesmas respostas das de Copenhague usando uma visão matemática mais elaborada) o que parece mostrar que esta empreitada seja impossível. Porem, esta equivalência algorítmica não deve ser verdadeira em escala cosmológica. Foi proposto que em um mundo com infinitos universos alternativos, os universos que se colapsam existem por um tempo menor que os universos que se expandem, este fenômeno pode causar um diferença detectável probabilidade entre as interpretações de muitos mundos e Copenhague.

Na interpretação de Copenhague, a matemática da mecânica quântica permite prever a probabilidades para a ocorrência de vários eventos. Na interpretação de muitos mundos, todos estes eventos ocorrem simultaneamente. O que se obtém por estes cálculos de probabilidade? E porque nos devemos observar, em nossa história, que eventos com alta probabilidade parecem ocorrer com mais frequência?

Uma das respostas para esta questão é dizer que há medição de probabilidade no espaço de todos universos, onde um possível universo é uma arvore completa do universo de ramificação. Isto é o que realmente este calculo produz. Então nos deveríamos esperar encontrar-nos mesmo em um universo com alta probabilidade do que em um de relativamente baixa probabilidade: mesmo que todas as saídas em uma experimento ocorram, elas não ocorrem de igual maneira.

A interpretação de muitos mundos não deve ser confundida com a interpretação com a muitas mentes a qual postula que é somente a mente do observador que se divide ao invés de todo universo.

Um exemplo simples

Considere-se formalmente o exemplo apresentado na introdução. Considere um par de partículas de spin 1/2, A e B, na qual nos unicamente consideraremos o spin observável (em particular sua mudança de posição). Como um sistema isolado, A partícula A é descrita por um Espaço de Hilbert de duas dimensões H_A; similarmente a partícula B é descrita por um Espaço de Hilbert H_B. O sistema composto é descrito pelo produto tensor:

H_{\mathrm {A} }\otimes H_{\mathrm {B} }

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

o qual é de dimensão 2 x 2. Se A e B não estão interagindo, o conjunto de tensores puros

|\phi \rangle \otimes |\psi \rangle

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

é invariante no que se refere a evolução temporal; de fato, nos somente consideramos os observáveis do spin para os quais as partículas isoladas são invariantes, o tempo não terá efeito a prior na observação. Porém, após a interação, o estado do sistema composto é um possível estado de entrelaçamento quântico, o qual não é um tensor puro.

O estado de entrelaçamento mais geral é uma soma

\Phi =\sum _{\ell }|\phi _{\ell }\rangle \otimes |\psi _{\ell }\rangle

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Para este estado corresponde um operador linear H_B → H_A o qual aplica estados puros para estados puros.

T_{\Phi }=\sum _{\ell }|\phi _{\ell }\rangle \otimes \langle \psi _{\ell }|.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Esta aplicação (essencialmente numa normalização modular do estado) é o aplicação do estado relativo definido por Everett, como associado a um estado puro de B correspondente a estado relativo(puro) associado de A. Mais precisamente, há uma única decomposição polar de T_Φ tal que

T_{\Phi }=US\quad

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

e U é uma aplicação isométrica definido em algum subespaço de H_B. Veja também decomposição de Schmidt.

Note que a matriz de densidade do sistema composto é pura. Porém, é também possível considerar a matriz densidade reduzida descrevendo a partícula A isolada tomando o traço parcial sobre os estados da partícula B. A matriz de densidade reduzida, ao contrario da matriz original descreve um estado misto. Este exemplo em particular é baseado no paradoxo EPR.

O exemplo anterior pode ser generalizado facilmente para sistemas arbitrários A, B sem nenhuma restrição na dimensão de espaço de Hilbert correspondente. Em geral, o estado relativo é uma aplicação linear isométrica definida no subespaço de H_B para valores em H_A.

Traço parcial e estado relativo

A transformação de um sistema quântico resultante do processo de medição, tal como na experiência de dupla fenda discutida acima, pode ser facilmente descrita matematicamente de uma forma que seja consistente a maioria dos formalismos matemáticos. Nos iremos apresentar uma destas descrições, também chamada de estado reduzido, baseada no conceito traço parcial, o qual pode ser processo pela interação, resume para um tipo de conhecimento formalismo muitos mundos. Isto então é um pequeno passo do formalismo de muitos mundos para a interpretação de muitos mundos.

Por definição, assumir-se-á que o sistema sempre é uma partícula tal como o elétron. A discussão do estado reduzido e muitos mundos não é diferente no caso que se nos considerarmos qualquer outro sistema físico, incluindo um "sistema observador". No que se segue, nos deveremos considerar não somente estados puros para o sistema, mas mais genericamente estados mistos.

Estes são certamente operadores lineares no espaço Hilbertiano H descrevendo o sistema quântico. Sem dúvida, como vários cenários medição apontados, o conjunto de estados puros não relacionados com a medição. Matematicamente, a matriz de densidade são misturas estatísticas de estados puros. Operacionalmente um estado misto pode ser identificado como a agrupamento estatístico resultante de um especifico procedimento preparação laboratorial.

Estados coerentes como estados relativos

Suponha que tenhamos um agrupamento de partículas tal que o estado S dele é puro. Isto significa que haverá um vetor unitário ψ em H tal que S é o operador dado em notação bra-ket pela fórmula seguinte:

S=|\psi \rangle \langle \psi |

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Agora consideremos um experimento para determinar se a partícula deste agrupamento tem uma propriedade particular: Por exemplo, a propriedade poderia ser a localização da partícula em alguma região A do espaço. O experimento pode ser preparado para se comportar seja como uma medição de um observador ou seja como um filtro. Como uma medição, determinará que a variável Q assume o valor 1 se a partícula se encontra em A e 0 no caso contrário. Como um filtro, ele deixará passar somente aquelas partículas que se encontram em A e impedindo a passagem das outras.

Matematicamente, uma propriedade é dada pela sua projeção autoadjunta E no espaço de Hilbert H: Aplicando o filtro para um pacote de partículas, algumas delas serão rejeitadas, e outras passam. Agora será possível mostrar que uma operação de filtro ocasiona o "colapso" do estado puro como no seguinte exemplo: prepara-se um novo estado composto dado pelo operador densidade

S_{1}=|E\psi \rangle \langle \psi E|+|F\psi \rangle \langle \psi F|

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde F = 1 - E.

Para ver isto, note-se que como um resultado da medição, o estado das partículas imediatamente após a medição é um eigevetor de Q, que é um dos dois estados puros...

{\frac {1}{\|E\psi \|^{2}}}|E\psi \rangle \quad {\mbox{ or }}\quad {\frac {1}{\|F\psi \|^{2}}}|F\psi \rangle .

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

com as respectivas probabilidades

\|E\psi \|^{2}\quad {\mbox{ or }}\quad \|F\psi \|^{2}.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

A forma matemática da de apresentação deste estado combinado é pela utilização de combinação convexa de estados puros:

\|E\psi \|^{2}\times {\frac {1}{\|E\psi \|^{2}}}|E\psi \rangle \langle E\psi |+\|F\psi \|^{2}\times {\frac {1}{\|F\psi \|^{2}}}|F\psi \rangle \langle F\psi |,

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

na qual o operados S₁ acima.

Comentário. O uso da palavra colapso neste contexto é de alguma maneira diferente daquela usada na explicação da interpretação de Copenhague. Nesta discussão não se irá referir a um colapso ou transformação da onda em nenhuma parte, mas particularmente da transformação de um estado puro em um estado misto.

As considerações precedente são completamente padrões da maioria dos formalismos da mecânica quântica. Agora considere um sistema "ramificado" o qual seguindo espaço de Hilbert é

{\tilde {H}}=H\otimes H_{2}\cong H\oplus H

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde H₂ é uma espaço de Hilbert bi-dimensional com vetores de base $|0\rangle$ and $|1\rangle$ . A ramificação no espaço pode ser entendida como um sistema composto constituído do sistema original (do qual agora é um subsistema) juntamente com um sistema não-interativo subordinado qbit simples. No sistema ramificado, considere o estado entrelaçado

\phi =|E\psi \rangle \otimes |0\rangle +|F\psi \rangle \otimes |1\rangle \in {\tilde {H}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Nós podemos expressar este estado na matriz de densidade formatado como $|\phi \rangle \langle \phi |$ . Multiplicando resulta em:

{\bigg (}|E\psi \rangle \langle E\psi |\ \otimes \ |0\rangle \langle 0|{\bigg )}\,+\,{\bigg (}|E\psi \rangle \langle F\psi |\ \otimes \ |0\rangle \langle 1|{\bigg )}\,+\,{\bigg (}|F\psi \rangle \langle E\psi |\ \otimes \ |1\rangle \langle 0|{\bigg )}\,+\,{\bigg (}|F\psi \rangle \langle F\psi |\ \otimes \ |1\rangle \langle 1|{\bigg )}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

O traço parcial do estado misto foi obtido pela somatória dos coeficientes do operador de $|0\rangle \langle 0|$ and $|1\rangle \langle 1|$ na expressão acima. Isto resulta em estado misto em H. De fato, este estado misto é idêntico ao estado composto "pós filtragem" S₁ acima.

Sumarizando, nos temos descrição matemática do efeito do filtro para a partícula no estado puro ψ no seguinte caminho:

O estado original é ampliado com sistema qubit subordinado.

O estado puro do sistema original é substituído por um estado de entrelaçamento puro de um sistema subordinado e

O estado pós-filtro do sistema é o traço parcial do estado entrelaçado para o estado subordinado.

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