G* = = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.
EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.
/
G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
{ -1 / G* = ω / T / c} =
G* = = OPERADOR DE GRACELI = Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ G* =operador cujo observável corresponde à ENERGIA TOTAL DO SISTEMA , TODAS AS INTERAÇÕES INCLUINDO TODAS AS INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS [AS QUATRO FORÇAS] [ELETROMAGNÉTICA, FORTE, FRACA E GRAVITACIONAL], INTERAÇÕES SPINS-ÓRBITAS, ESTRUTURRA ELETRÔNICA DOS ELEMENTOS QUÍMICOS, TRANSFORMAÇÕES, SISTEMAS DE ONDAS QUÂNTICAS, MOMENTUM MAGNÉTICO de cada elemento químico e partícula, NÍVEIS DE ENERGIA , número quântico , e o sistema GENERALIZADO GRACELI. ] é um
COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..
A fórmula de Feynman–Kac, que recebe este nome em homenagem ao físico norte-americano Richard Feynman e ao matemático polonês Mark Kac, estabelece uma ligação entre equações diferenciais parciais (EDPs) parabólicas e processos estocásticos. A fórmula oferece um método para resolver algumas EDPs pela simulação de caminhos aleatórios de um processo estocástico. Reciprocamente, uma importante classe de valores esperados de processos aleatórios pode ser computada por métodos determinísticos.
Fórmula
Considere a equação diferencial parcial[1]
/
G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
definida para todo em R e todo em , sujeita à condição terminal
em que , , , e são funções conhecidas. é um parâmetro e é desconhecido. Então, a fórmula de Feynman–Kac nos diz que a solução pode ser escrita como um valor esperado condicional
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
sob a medida de probabilidade , tal que é um processo de Itō dirigido pela equação
/
G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
sendo um processo de Wiener (também chamado de movimento browniano) sob e a condição inicial para .
Em matemática, o lema de Itō é uma identidade usada em cálculo de Itō para encontrar a diferencial de uma função dependente do tempo de um processo estocástico. É o análogo em cálculo estocástico da regra da cadeia do cálculo comum. Pode ser heuristicamente derivado pela formação da expansão da série de Taylor de uma função, separando suas derivadas de segunda ordem e retendo termos até a primeira ordem no incremento do tempo e a segunda ordem no incremento de processo de Wiener. O lema é amplamente empregado em matemática financeira e sua aplicação mais conhecida é a derivação da equação de Black-Scholes para valores de opção.
O lema de Itō, que recebe este nome em homenagem a Kiyoshi Itō, é ocasionalmente referido como o teorema de Itō-Doeblin em reconhecimento ao trabalho postumamente descoberto de Wolfgang Döblin.[1]
Enquanto o lema de Itō foi provado por Kiyoshi Itō, o teorema de Itō, um resultado em teoria dos grupos, recebe este nome devido a Noboru Itō.[2]
Derivação informal
Uma prova formal do lema se baseia em tomar o limite de uma sequência de variáveis aleatórias.[3] Esta abordagem não é apresentada aqui, já que envolve uma série de detalhes técnicos. Em vez disto, segue abaixo um esboço de como se pode derivar o lema de Itō ao expandir uma série de Taylor e aplicar as regras do cálculo estocástico.
Considere Xt um processo de tendência-difusão de Itō que satisfaz à equação diferencial estocástica
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
em que Bt é um processo de Wiener. Se f(t,x) for uma função escalar duplamente diferenciável, sua expansão em uma série de Taylor é
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Substituindo Xt por x e μt dt + σt dBt por dx temos
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
No limite dt → 0, os termos dt2 e dt dBt tendem a zero mais rapidamente que dB2, que é O(dt). Configurando os termos dt2 e dt dBt a zero, substituindo dt por dB2 e coletando os termos dt e dB, obtemos
/
G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
como exigido.
Formulação matemática do lema de Itō
Nas subseções seguintes, são discutidas versões de lema de Itō para diferentes tipos de processos estocásticos.[4]
Processos de tendência-difusão (drift-diffusion) de Itō
Em sua forma mais simples, o lema de Itō afirma que, para um processo de tendência-difusão de Itō[5]
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
em que é a diferencial do movimento Browniano. Para qualquer função escalar duplamente diferenciável f(t,x) de duas variáveis reais t e x, tem-se
/
G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Isto imediatamente implica que f(t,Xt) é um processo de tendência-difusão de Itō.
Em dimensões mais elevadas, se é um vetor de processo de Itō,[6] tal que
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
para um vetor e uma matriz , o lema de Itō afirma então que
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
em que ∇X f é o gradiente de f em relação a X, HX f é a matriz hessiana de f em relação a X, e Tr é o operador traço.
Processo de salto de Poisson
Também é possível definir funções relativas a processos estocásticos descontínuos.[7]
Considere h a densidade do salto. O modelo de processo de Poisson para saltos diz que a probabilidade de um salto no intervalo [t, t + Δt] é hΔt mais termos de ordem mais elevada. h pode ser uma constante, uma função determinística do tempo ou um processo estocástico. A probabilidade de sobrevivência ps(t) é a probabilidade de que nenhum salto ocorra no intervalo [0, t]. A mudança na probabilidade de sobrevivência é
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Então
/
G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Considere S(t) um processo estocástico descontínuo. é o valor de conforme se aproxima a partir da esquerda. é a mudança não infinitesimal em S(t) como um resultado de um salto. Então
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Considere a magnitude do salto e a distribuição de probabilidade de . A magnitude esperada do salto é
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Defina , um processo compensado e martingale, como
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Então
/
G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Considere uma função do processo de salto dS(t). Se S(t) salta Δs, então g(t) salta Δg. Δg é tirado da distribuição que pode depender de , dg e . A parte de salto de é
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Se contém tendência, difusão e salto, então o lema de Itō para é
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
O lema de Itō para um processo que é a soma de processo de tendência-difusão e um processo de salto é simplesmente a soma do lema de Itō para as partes individuais.
Semimartingales não contínuos
O lema de Itō também pode ser aplicado a semimartingales gerais de dimensões, que não precisam ser contínuos.[8] Em geral, um semimartingale é um processo càdlàg e um termo adicional precisa ser adicionado à fórmula para garantir que os saltos do processo estejam corretamente dados pelo lema de Itō. Para qualquer processo càdlàg Yt, o limite à esquerda em é denotado por Yt−, que é um processo contínuo à esquerda. Os saltos são escritos como ΔYt = Yt − Yt−. Então, o lema de Itō afirma que, se X = (X1, X2, ..., Xd) for um semimartingale de dimensões e for uma função de valores reais duplamente e continuamente diferenciável em Rd, então, é um semimartingale e
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Isto difere da fórmula para semimartingales contínuos pelo termo adicional somando ao longo dos saltos de , garantindo que o salto do lado direito no tempo seja .
Processos de salto não contínuos múltiplos
Também há uma versão disto para um função duplamente e continuamente diferenciável no espaço e unicamente diferenciável no tempo avaliado em semimartingales (potencialmente diferentes) não contínuos que pode ser escrita da seguinte forma:
/
G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Em que denota a parte contínua do -ésimo semimartingale.
Exemplos
Movimento browniano geométrico
Um processo segue um movimento browniano geométrico com volatilidade constante e deriva constante se satisfizer à equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μdt) para um movimento browniano . Aplicando-se o lema de Itō com , temos
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Segue-se disto
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
e a exponenciação dá para a expressão
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
O tempo de correção de − σ22 corresponde à diferença entre a mediana e a média da distribuição log-normal ou, equivalentemente a esta distribuição, a média geométrica e a média aritmética, sendo a mediana (média geométrica) mais baixa. Isto se deve à desigualdade das médias e corresponde ao logaritmo sendo convexo para baixo, então o termo de correção pode, portanto, ser interpretado como uma correção de convexidade. Isto é uma versão infinitesimal do fato de que o retorno anualizado é menor que o retorno médio, sendo diferença proporcional à variância.
O mesmo fator de σ22 aparece nas variáveis auxiliares e da fórmula de Black-Scholes e pode ser interpretado como uma consequência do lema de Itō.
Exponencial de Doléans-Dade
O exponencial de Doléans-Dade (ou exponencial estocástico) de um semimartingale contínuo pode ser definido como a solução da equação diferencial estocástica dY = Y dX com condição inicial Y0 = 1. É às vezes denotado como Ɛ(X). Aplicando-se o lema de Itō com , temos
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
A exponenciação dá a solução
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Fórmula de Black-Scholes
O lema de Itō pode ser usado para derivar a fórmula de Black-Scholes para uma opção.[9] Suponha que o preço de uma ação segue um movimento browniano geométrico dado pela equação diferencial estocástica dS = S(σdB + μ dt). Então, se o valor de uma opção no tempo for , o lema de Itō dá
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
O termo representa a variação no valor no tempo da estratégia de negociação que consiste em manter em carteira uma quantidade da ação. Seguindo essa estratégia e considerando que qualquer quantidade de dinheiro mantida é remunerada à taxa livre de risco , então o valor total deste portfólio satisfaz à equação diferencial estocástica
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Esta estratégia replica a opção se . A combinação destas equações resulta na famosa equação de Black-Scholes
Em matemática, o processo de Wiener é um processo estocástico de tempo contínuo, que recebe este nome em homenagem a Norbert Wiener. É frequentemente chamado de processo de movimento browniano padrão ou movimento browniano devido a sua conexão histórica com o processo físico conhecido como movimento browniano primeiramente observado por Robert Brown. Foi também estudado por Albert Einstein.[1] É um dos mais conhecidos processos de Lévy (processos estocásticos càdlàg com incrementos independentes estacionários) e ocorre frequentemente em matemática pura e aplicada, economia, matemática financeira e física.
O processo de Wiener desempenha um papel importante tanto na matemática pura, quanto na aplicada. Em matemática pura, o processo de Wiener fez surgir o estudo de martingales de tempo contínuo. É um processo-chave em cujos termos processos estocásticos mais complicados podem ser descritos, em especial, por ser um dos únicos processos que é, ao mesmo tempo, martingale e markoviano. Como tal, desempenha um papel vital no cálculo estocástico, nos processos de difusão e, até mesmo, na teoria do potencial. É o processo condutor da evolução de Schramm-Loewner. Em matemática aplicada, o processo de Wiener é usado para representar a integral de um processo gaussiano de ruído branco, que é útil no que se refere a modelos de ruído na engenharia eletrônica (veja ruído browniano), erros de instrumento em teoria da filtragem e forças desconhecidas em teoria de controle.[2]
O processo de Wiener tem aplicações por todas as ciências matemáticas. Em física, é usado para estudar o movimento browniano, a difusão de partículas mínimas suspensas em fluido, e outros tipos de difusão via equações de Langevin e Fokker-Planck. Também constitui a base da formação de integrais de caminho da mecânica quântica[3] (pela fórmula de Feynman-Kac, uma solução à equação de Schrödinger que pode ser representada nos termos do processo de Wiener) e do estudo da inflação eterna na cosmologia física. Também é proeminente na teoria matemática das finanças, em particular no modelo Black-Scholes de precificação de opções.
Caracterizações do processo de Wiener
O processo de Wiener é caracterizado pelas seguintes propriedades:[4][5]
- q.c.
- tem incrementos independentes: para todo , os incrementos futuros , , são independentes dos valores passados , .
- tem incrementos gaussianos: é normalmente distribuído com média e variância ,
- tem caminhos contínuos: com probabilidade , é contínuo em .
Por incrementos independentes, diz-se que, se , então e são variáveis aleatórias independentes e a mesma condição se mantém para incrementos.
Uma caracterização alternativa do processo de Wiener é a então chamada caracterização de Lévy, que diz que o processo de Wiener é um martingale quase certamente contínuo com e variação quadrática (o que significa que é também um martingale).
Uma terceira caracterização diz que o processo de Wiener tem um representação espectral como uma série de senos cujos coeficientes são variáveis aleatórias independentes . Esta representação pode ser obtida usando o teorema de Karhunen-Loève.
Outra caracterização de um processo de Wiener é a integral definida (de ao tempo ) de um processo gaussiano ("branco") delta-correlacionado com variância e média .
O processo de Wiener pode ser construído como o limite escalar de um passeio aleatório ou outros processos estocásticos de tempo discreto com incrementos independentes estacionários. Isto é conhecido como teorema de Donsker. Assim como o passeio aleatório, o processo de Wiener é recorrente em uma ou duas dimensões (o que significa que ele retorna quase certamente a qualquer vizinhança fixada da origem infinitas vezes), mas não é recorrente em três ou mais dimensões. Diferentemente do passeio aleatório, tem como característica a invariância de escala, o que significa que
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
é um processo de Wiener para qualquer constante não nula. A medida de Wiener é a lei probabilística no espaço das funções contínuas , com , induzido pelo processo de Wiener. Uma integral baseada na medida de Wiener pode ser chamada de integral de Wiener.
Processo de Wiener como um limite do passeio aleatório
Considere variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média e variância . Para cada , defina um processo estocástico de tempo contínuo
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G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
Esta é uma função passo aleatório. Incrementos de são independentes porque são independentes. Para grande, é próximo de pelo teorema central do limite. Conforme , se aproximará de um processo de Wiener. A prova desta afirmação é oferecida pelo teorema de Donsker. Esta formulação explicou por que o movimento browniano é ubíquo.[6]
Propriedades de um processo de Wiener unidimensional
Propriedades básicas
A função densidade de probabilidade incondicional, que segue distribuição normal com média igual a e variância igual a , em um tempo fixado :
/
G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
O valor esperado é zero:
/
G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
A variância, usando a fórmula algébrica para a variância, é t:
/
G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
/
G* = = [ ] ω , , / T / c [ [x,t] ] =
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